13. Proporcionalidad

Razón

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee a es a b.

Proporción 

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones.

Variación

Consiste en que si se tienen dos cantidades y una de ellas aumenta o disminuye un cierto numero de veces, la otra se incrementa o disminuye en igual cantidad.

  Variación directa: La variación directa significa que la salida varia de la entrada por una razón. La forma general de la ecuación para la variación directa y=mx donde el m esta la constante variación.

  Variación indirecta: La variación indirecta describe una relación simple entre dos  . Decimos que y varía directamente con x .

  

12. Números decimales y fracciones

Fracciones decimales

Las fracciones decimales son lo que corresponde a las partes de un entero que se ha partido en una decena de partes iguales o una centena, etc. Es muy importante tener en claro que lo que generalmente llamamos números decimales, o sea los números con coma decimal, están expresando una fracción decimal.

11.Fracciones

Fracciones

Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad. Se representa escribiendo el dividendo arriba de una linea y el divisor debajo de esta.

 

   Tipos de fracciones

Según la relación (mayor o menor) que existe entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias:

  Fracciones propias: Cuando el numerador es menor que el denominador.

En las fracciones propias, el resultado de la división numerador divido denominador siempre sera menor que 1.

  Fracciones impropias: Cuando el numerador es mayor o igual que el denominador .

En las fracciones impropias, el resultado de la división numerador dividido denominador siempre sera mayor o igual que 1.

  Unidad: Cuando el numerador y el denominador son el mismo numero, la fraccion es la unidad, es decir, 1.

  Fracciones mixtas: Es un numero entero escrito junto a una fracción.

 3½ = 3,5

Suma de fracciones

   Suma de fracciones con el mismo denominador: Para sumar fracciones con el mismo denominador se tienen que sumar los numeradores dejando el mismo denominador.

   Suma de fracciones con distinto denominador: Para sumar fracciones con diferente denominador, lo primero que hay que hacer es poner un denominador comun: esto es el minimo comun multiplo entre los denominadores que haya. Despues multiplicamos cada numerador por el numero que hayamos multiplicado al denominador. Por ultimo, sumamos los numeradores que hayamos obtenido y dejamos el mismo denominador.

m.c.m. (3,5) = 15

15 : 3 = 5

5 x 2 = 10

15 : 5 = 3

3 x 4 =12

Resta de fracciones

   Resta de fracciones con mismo denominador: La resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común.

   Resta de fracciones con distinto denominador: Esta se explicara paso a paso ya que no es tan sencilla:

  1. Multiplicar en cruz

 

  2. Multiplicar los denominadores de las dos fracciones

  3. Resolvemos todas las operaciones 

Máximo común divisor 

En matemáticas, se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo. El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición de factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

         

       

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. Partiendo de dos o más números y por descomposición de factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.

     

       

10.Divisibilidad y criterios

 Divisibilidad

El concepto de divisibilidad  se refiere a las condiciones que deben reunir los números enteros para que puedan dividirse exactamente por otro número entero.

   Criterios de divisibilidad

Para facilitar la búsqueda de los divisores de un número, es muy importante conocer los Criterios de Divisibilidad, que son unas reglas que permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Criterios de los primeros números primos

Número	Regla
2	Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 20, 72, 134, 216, 3218, 58616
3	Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6)
5	Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. 10, 25, 40, 65, 125, 3215
7	Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso, 84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7 2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7
11	Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11. 132→(2+1 = 3; 3-3 = 0)⇔2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11) 71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)

Criterios de los primeros números compuestos

Número	Regla
4	Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. (La mitad termina en cifra par). 104, 208, 312, 716, 920, 1148, 2172, 35796
6	Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. (Termina en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3). 72→(7+2=9), 114→(1+1+4=6), 4368→(4+3+6+8=21, 2+1=3)
8	Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. (La mitad, de la mitad termina en cifra par). 1008, 2016, 3024, 4032, 13040.
9	Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 72→(7+2=9), 261→(2+6+1=9), 684→(6+8+4=18, 1+8=9)
10	Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. 30,120, 3320,12460



9.Numeros II

Números naturales

Los números naturales son los números que sirven para enumerar los elementos dentro de un conjunto. El conjunto de los números naturales se representa con la letra $N$ , y utiliza el sistema decimal como forma de notación básica, aunque puede ser traducido a otros sistemas como el binario o el hexadecimal. Esto se debe a que el sistema decimal es la más extendida forma para escribir cualquier cantidad. Por lo tanto, los números naturales sirven para contar las cosas que existen en el universo, y a partir de las primeras diez cifras, puede definir todas las numeraciones siguientes y en el orden en que se presentan. De esta manera:

$$N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$



Los números naturales solo poseen números que se pueden contar, de tal manera que, no contemplan a los números negativos ni tampoco al cero.

Números enteros



Los números enteros, representado por el símbolo $Z$ , por su parte son un conjunto bastante amplio. Estos incluyen a los números naturales que sirven para delimitar los elementos que se encuentran dentro de un conjunto; también incluyen al cero, que no es un número en sí, pero expresa la ausencia de cantidad o un conjunto vacío y sin elementos contables; y dentro de los números enteros también se pueden encontrar a los números opuestos de los números naturales. Sirven para expresar una cantidad contable, la ausencia de cantidad y una cantidad negativa que puede ser una deuda o lo opuesto a la cantidad. Además, los números enteros no incluyen a los números fraccionarios, es decir que los decimales o un número racional no se encuentran dentro del mismo conjunto que se menciona.

Números primos

Un numero primo es un numero natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Loa números primos menores a 100 son:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,

61,67,71,73,79,83,89,97.

Números compuestos

Un numero compuesto es cualquier numero natural no primo, a excepción del 1, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo.

 Una característica es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4×5; y también el 87 ya que se expresa como 3×29.

8.Sistemas de numeracion

Base 10

Echemos un vistazo a un ejemplo de un número grande y usamos base-10 para determinar el valor de posición de cada dígito. Por ejemplo, utilizando el número entero 987.654,125, la posición de cada dígito es la siguiente:

• 9 tiene un valor de lugar de 900.000
• 8 tiene un valor de 80.000
• 7 tiene un valor de 7.000
• 6 tiene un valor de 600
• 5 tiene un valor de 50
• 4 tiene un valor de 4
• 1 tiene un valor de 10th

• 2 tiene un valor de 2/100th
• 5 tiene un valor de 5/1000th

Base 2

El sistema binario es un sistema de numeración se representan usando solamente las cifras 0 y 1. Se utiliza en las computadoras debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

  

   Conversión entre el sistema binario y el sistema decimal

Se divide el numero del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del ultimo al primero, este será el numero binario que buscamos. Por ejemplo:

Transformar el numero decimal 131 en binario

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1

Ordenamos los restos, del ultimo al primero: 10000011

Base 3

El sistema ternario es el nombre que se le da a la base 3 constante. Para representar cualquier numero en el sistema ternario se utilizan los dígitos 0,1,2. Por ejemplo:

Transformar el numero decimal 5431 en ternario

5431 dividido entre 3 da 1810 y el resto es igual a 1

1810 dividido entre 3 da 603 y el resto es igual a 1

603 dividido entre 3 da 201 y el resto es igual a 0

201 dividido entre 3 da 67 y el resto es igual a 0

67 dividido entre 3 da 22 y el resto es igual a 1

22 dividido entre 3 da 7 y el resto es igual a 1

7 dividido entre 3 da 2 y el resto es igual a 1

2 dividido entre 3 da 0 y el resto es igual a 2

Ordenamos los restos, del ultimo al primero: 21110011





7.Logica

Proposiciones

Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede tener dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas, tienen un valor de verdad (que sera la veracidad o la falsedad de su enunciado).

De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con mas de un conector lógico).

Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como expresiones de juicio que no pueden resultar verdaderas y falsas de manera simultanea. Por ejemplo:

a: 9 es múltiplo de 3

Dicha expresión es una proposición matemática resulta verdadera, ya que 3x3 es igual a 9 y por lo tanto, 9 es uno de los infinitos múltiplos de 3. Como decíamos, la proposición matemática puede ser falsa:

b: 7 es múltiplo de 3

En este caso la proposición falsa por que 7 no es múltiplo de 3.

   Proposicion matematica abierta: Es aquella que su valor de verdad no cambia. Por ejemplo:

a: Quito es la capital de Ecuador   (V)

b: La luna es un planeta                 (F)
c: 2+5=9                                         (F)

   Proposicion matematica cerrada: Es aquella que su valor de verdad no esta definido y depende de un conjunto referencial. Por ejemplo:

a: Hoy va a llover; puede ser verdadera o falsa, no tiene conjunto referencial que la defina.

   Proposicion matematica simple o atomica: Es aquella que no esta unida con otra preposicion. Por ejemplo: 

a: Quito es la capital de Ecuador

b: La luna es un planeta

c: 2+5=9

   Proposicion matematica compuesta o molecular: Son proposiciones que se obtienen de la combinacion de dos o mas proposiciones simples mediante los colectivos u operadores logicos. Por ejemplo:

*9 es multiplo de 3 y 10 es multiplo de 2

*El gusano es invertebrado o vertebrado

*16 es multiplo de 4 entonces 4 es multiplo de 2

    Valores de verdad: Se llama valor de verdad de una proposicion a la verdad o a la falsedad de su contenido.

Cuantificadores

Un cuantificador es una expresion que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase, se usa el simbolo ∃ llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir "existe". Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los mas utilizados estan:

   Cuantificador universal: Se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Para todo (x) perteneciente a A, se cumple P (x)

Esta afirmacion suele usarse como la equivalente de la proposicion siguiente:

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U que cumplen P (x)

   Cuantificador existencial: Se usa para indicar que hay uno o mas elementos en el conjunto A que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

∃x∈A:P(x)

Existe x en A que cumple P (x)

Esta proposicion suele interpretarse como la equivalente de la proposicion siguiente:

{x∈A:P(x)}≠∅

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P (x) es distinto del conjunto vacio.

   Cuantificador existencial unico: Se usa para indicar que hay un unico elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

∃!x∈A:P(x)

 Existe una unica x elementos de A 

Tablas de la verdad

Una tabla de la verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. Sus tipos son:

   Verdad indeterminada o contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: ${\displaystyle A\land (B\lor C)}$.

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C.



   Contradicción

Se entiende por contradicción aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.

   Tautologías

Se entiende por tautología aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V.

   Proposición condicional





Si se conectan dos enunciados colocando la palabra "si" antes de la condición y después de la palabra "entonces", la proposición resultante se llama un condicional. Por ejemplo:

 1) p(x): x es un número entero, y
2) q(x): x es un número racional.