10.Divisibilidad y criterios

 Divisibilidad

El concepto de divisibilidad  se refiere a las condiciones que deben reunir los números enteros para que puedan dividirse exactamente por otro número entero.

   Criterios de divisibilidad

Para facilitar la búsqueda de los divisores de un número, es muy importante conocer los Criterios de Divisibilidad, que son unas reglas que permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división.

Criterios de los primeros números primos

Número	Regla
2	Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 20, 72, 134, 216, 3218, 58616
3	Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6)
5	Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. 10, 25, 40, 65, 125, 3215
7	Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso, 84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7 2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7
11	Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11. 132→(2+1 = 3; 3-3 = 0)⇔2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11) 71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11)

Criterios de los primeros números compuestos

Número	Regla
4	Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. (La mitad termina en cifra par). 104, 208, 312, 716, 920, 1148, 2172, 35796
6	Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. (Termina en cifra par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3). 72→(7+2=9), 114→(1+1+4=6), 4368→(4+3+6+8=21, 2+1=3)
8	Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. (La mitad, de la mitad termina en cifra par). 1008, 2016, 3024, 4032, 13040.
9	Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 72→(7+2=9), 261→(2+6+1=9), 684→(6+8+4=18, 1+8=9)
10	Un número es divisible por 10 cuando termina en 0. 30,120, 3320,12460



9.Numeros II

Números naturales

Los números naturales son los números que sirven para enumerar los elementos dentro de un conjunto. El conjunto de los números naturales se representa con la letra $N$ , y utiliza el sistema decimal como forma de notación básica, aunque puede ser traducido a otros sistemas como el binario o el hexadecimal. Esto se debe a que el sistema decimal es la más extendida forma para escribir cualquier cantidad. Por lo tanto, los números naturales sirven para contar las cosas que existen en el universo, y a partir de las primeras diez cifras, puede definir todas las numeraciones siguientes y en el orden en que se presentan. De esta manera:

$$N=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$



Los números naturales solo poseen números que se pueden contar, de tal manera que, no contemplan a los números negativos ni tampoco al cero.

Números enteros



Los números enteros, representado por el símbolo $Z$ , por su parte son un conjunto bastante amplio. Estos incluyen a los números naturales que sirven para delimitar los elementos que se encuentran dentro de un conjunto; también incluyen al cero, que no es un número en sí, pero expresa la ausencia de cantidad o un conjunto vacío y sin elementos contables; y dentro de los números enteros también se pueden encontrar a los números opuestos de los números naturales. Sirven para expresar una cantidad contable, la ausencia de cantidad y una cantidad negativa que puede ser una deuda o lo opuesto a la cantidad. Además, los números enteros no incluyen a los números fraccionarios, es decir que los decimales o un número racional no se encuentran dentro del mismo conjunto que se menciona.

Números primos

Un numero primo es un numero natural mayor que 1 que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Loa números primos menores a 100 son:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,

61,67,71,73,79,83,89,97.

Números compuestos

Un numero compuesto es cualquier numero natural no primo, a excepción del 1, es decir, tiene uno o más divisores distintos a 1 y a sí mismo.

 Una característica es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que él. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4×5; y también el 87 ya que se expresa como 3×29.

8.Sistemas de numeracion

Base 10

Echemos un vistazo a un ejemplo de un número grande y usamos base-10 para determinar el valor de posición de cada dígito. Por ejemplo, utilizando el número entero 987.654,125, la posición de cada dígito es la siguiente:

• 9 tiene un valor de lugar de 900.000
• 8 tiene un valor de 80.000
• 7 tiene un valor de 7.000
• 6 tiene un valor de 600
• 5 tiene un valor de 50
• 4 tiene un valor de 4
• 1 tiene un valor de 10th

• 2 tiene un valor de 2/100th
• 5 tiene un valor de 5/1000th

Base 2

El sistema binario es un sistema de numeración se representan usando solamente las cifras 0 y 1. Se utiliza en las computadoras debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

  

   Conversión entre el sistema binario y el sistema decimal

Se divide el numero del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del ultimo al primero, este será el numero binario que buscamos. Por ejemplo:

Transformar el numero decimal 131 en binario

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1

Ordenamos los restos, del ultimo al primero: 10000011

Base 3

El sistema ternario es el nombre que se le da a la base 3 constante. Para representar cualquier numero en el sistema ternario se utilizan los dígitos 0,1,2. Por ejemplo:

Transformar el numero decimal 5431 en ternario

5431 dividido entre 3 da 1810 y el resto es igual a 1

1810 dividido entre 3 da 603 y el resto es igual a 1

603 dividido entre 3 da 201 y el resto es igual a 0

201 dividido entre 3 da 67 y el resto es igual a 0

67 dividido entre 3 da 22 y el resto es igual a 1

22 dividido entre 3 da 7 y el resto es igual a 1

7 dividido entre 3 da 2 y el resto es igual a 1

2 dividido entre 3 da 0 y el resto es igual a 2

Ordenamos los restos, del ultimo al primero: 21110011





7.Logica

Proposiciones

Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede tener dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas, tienen un valor de verdad (que sera la veracidad o la falsedad de su enunciado).

De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con mas de un conector lógico).

Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como expresiones de juicio que no pueden resultar verdaderas y falsas de manera simultanea. Por ejemplo:

a: 9 es múltiplo de 3

Dicha expresión es una proposición matemática resulta verdadera, ya que 3x3 es igual a 9 y por lo tanto, 9 es uno de los infinitos múltiplos de 3. Como decíamos, la proposición matemática puede ser falsa:

b: 7 es múltiplo de 3

En este caso la proposición falsa por que 7 no es múltiplo de 3.

   Proposicion matematica abierta: Es aquella que su valor de verdad no cambia. Por ejemplo:

a: Quito es la capital de Ecuador   (V)

b: La luna es un planeta                 (F)
c: 2+5=9                                         (F)

   Proposicion matematica cerrada: Es aquella que su valor de verdad no esta definido y depende de un conjunto referencial. Por ejemplo:

a: Hoy va a llover; puede ser verdadera o falsa, no tiene conjunto referencial que la defina.

   Proposicion matematica simple o atomica: Es aquella que no esta unida con otra preposicion. Por ejemplo: 

a: Quito es la capital de Ecuador

b: La luna es un planeta

c: 2+5=9

   Proposicion matematica compuesta o molecular: Son proposiciones que se obtienen de la combinacion de dos o mas proposiciones simples mediante los colectivos u operadores logicos. Por ejemplo:

*9 es multiplo de 3 y 10 es multiplo de 2

*El gusano es invertebrado o vertebrado

*16 es multiplo de 4 entonces 4 es multiplo de 2

    Valores de verdad: Se llama valor de verdad de una proposicion a la verdad o a la falsedad de su contenido.

Cuantificadores

Un cuantificador es una expresion que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase, se usa el simbolo ∃ llamado cuantificador existencial, antepuesto a una variable para decir "existe". Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los mas utilizados estan:

   Cuantificador universal: Se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Para todo (x) perteneciente a A, se cumple P (x)

Esta afirmacion suele usarse como la equivalente de la proposicion siguiente:

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U que cumplen P (x)

   Cuantificador existencial: Se usa para indicar que hay uno o mas elementos en el conjunto A que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

∃x∈A:P(x)

Existe x en A que cumple P (x)

Esta proposicion suele interpretarse como la equivalente de la proposicion siguiente:

{x∈A:P(x)}≠∅

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P (x) es distinto del conjunto vacio.

   Cuantificador existencial unico: Se usa para indicar que hay un unico elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

∃!x∈A:P(x)

 Existe una unica x elementos de A 

Tablas de la verdad

Una tabla de la verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. Sus tipos son:

   Verdad indeterminada o contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: ${\displaystyle A\land (B\lor C)}$.

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C.



   Contradicción

Se entiende por contradicción aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.

   Tautologías

Se entiende por tautología aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V.

   Proposición condicional





Si se conectan dos enunciados colocando la palabra "si" antes de la condición y después de la palabra "entonces", la proposición resultante se llama un condicional. Por ejemplo:

 1) p(x): x es un número entero, y
2) q(x): x es un número racional. 





5.Juegos matemáticos

¡Vamos a jugar matemáticas!

6.Ejercicios y problemas

¡A fortalecer nuestra mente!

4.Operaciones básicas

Operaciones básicas

Las operaciones básicas de la matemática son cuatro:

   1.Suma

Una suma o adición es una operación matemática que reúne dos o más números llamados sumandos en un solo número llamado suma o total. Los sumandos son los valores que se desean combinar y la suma es el resultado de la operación.La operación se denota con el símbolo (+) y tiene la siguiente forma:

      Propiedades de la suma

La suma, definida en el conjunto de los números naturales, tiene las siguientes propiedades:

   *Cerrada

La suma de dos números naturales siempre es otro número natural, por ejemplo:

5+4=9

   *Conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma, esta propiedad se puede expresar de la siguiente manera usando una fórmula:

a+b=b+a

Por ejemplo:

6+9=15

9+6=15

6+9=9+6=15

   *Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro aditivo en el conjunto de los números naturales (N). Esto quiere decir que si a se suma con 0 el resultado sera a, por ejemplo:

5+0=5

   *Asociativa

Cuando tenemos operaciones con tres sumandos, es necesario sumar dos de ellos primero y luego sumarle el tercero al resultado.  Esta propiedad se puede describir mediante una fórmula de la siguiente manera:

(a+b)+c=a+(b+c)

Por ejemplo:

3+5=8

8+7=15

   2.Resta

Una resta o sustracción  es una operación de aritmética que se representa con el signo (–), representa la operación de eliminación de objetos de una colección. 

¿Como saber si la resta esta buena? Para darnos cuenta de esto haremos la prueba, consiste en sumar la diferencia con el sustraendo y nos debe dar como resultado el minuendo.

      Propiedades de la resta

La resta tiene las siguientes propiedades:

   *Propiedad fundamental

La suma del sustraendo con la diferencia da el minuendo. Por ejemplo: 10 – 7 = 3. El minuendo (10) es igual: 10 = 7 + 3. Por otra parte, la resta del minuendo con la diferencia da el sustraendo. Por ejemplo: 12 – 8 = 4. El sustraendo (8) es igual: 8 = 12 – 4.

   

   *Propiedad no interna

El resultado de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. Por ejemplo: 

2 − 5 ∄ N

   *Propiedad no conmutativa

No podemos intercambiar la posición del minuendo con la del sustraendo. Por ejemplo:

 5 − 2 ≠ 2 − 5

   *Propiedad no asociativa

El modo de agrupar los números de una resta sí altera el resultado. Por ejemplo: 10 − 7 − 2 = 1. Si agrupamos (10 − 7) − 2 = 1, pero si agrupamos (7 − 2) − 10 = −5.

   *Propiedad del minuendo

Si al minuendo se le suma o resta un número, la diferencia queda sumada o restada por el mencionado número. Por ejemplo: 8 – 2 = 6; si le añadimos el número 3 quedaría: (8 + 3) – 2 = 6 + 3; (8  – 3) – 2 = 6 – 3.

   *Propiedad del sustraendo

Si aumentamos o disminuimos el sustraendo, en un número, la diferencia disminuye o aumenta en el mencionado número. Por ejemplo: 9 – 5 = 4; si le añadimos el número 3 quedaría: 9 –  (5 + 3) = 4 – 3; 9 – (5– 3) = 4 + 3.

   *Propiedad de diferencia nula

Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen, en un mismo número, la diferencia no varía. Por ejemplo: 9 – 5 = 4; si le añadimos el número 3, quedaría: (9 + 3) – (5 + 3) = (9 – 5) + (5 – 5) = (9 – 5) + 0 = 4.

   *Propiedad uniforme

Si a los dos miembros de una igualdad, se le resta un mismo número u operación aritmética, la igualdad permanece. Por lo tanto, como cada miembro de una igualdad representa a un mismo número, es evidente que todo aumento o disminución, que se efectúen en ambos lados de una igualdad, no afectará a la igualdad, ya que hemos hecho la misma variación a los dos miembros de la igualdad que representan el mismo número.

   *Propiedad monótona simple

Si a los dos miembros de una desigualdad le restamos un mismo número, la desigualdad permanece en el mismo sentido. Por ejemplo: A >B en C, si restamos N unidades, a ambos miembros, tendremos que A = B + C  y (A – N) = (B + C) – N según propiedad uniforme de la suma. De lo dicho se deduce que A – N = B – N + C resultando que A – N > B – N en C unidades.

   *Propiedad monótona compuesta

Si restamos miembro a miembro dos desigualdades, del mismo sentido, con expresiones sustractivas podemos obtener los siguientes resultados:

1. Si la diferencia de las desigualdades son iguales, dará una igualdad.

2. Si la diferencia de la desigualdad minuendo es mayor que la de la desigualdad sustraendo, el sentido no varía.

3. Si la diferencia de la desigualdad minuendo es menor que la de la desigualdad sustraendo, el sentido sí varía.

   3.Multiplicación

La multiplicación es una operación binaria que se establece en un conjunto numérico, consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número y su símbolo es (x). Por ejemplo:

3x5=15

       Propiedades de la multiplicación 

Para los números naturales, enteros, fracciones y números reales y complejos, la multiplicación tiene ciertas propiedades:

   *Propiedad de cerradura

Multiplicar dos o mas números naturales nos da como resultado otro numero natural

   *Propiedad conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

  *Propiedad asociativa

Únicamente expresiones de multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de las operaciones.

   *Propiedad distributiva

El total de la suma de dos números multiplicado por un tercer número es igual a la suma de los productos entre el tercer número y cada sumando.

   *Elemento identidad (neutro)

La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo número multiplicado por 1 es sí mismo.

   *Elemento cero (absorbente)

Cualquier número multiplicado por cero da como producto cero.

  

   4. División 

Es una operación parcialmente definida en el conjunto de los números naturales y los números enteros; en cambio, en el caso de los números racionales, reales y complejos es siempre posible efectuar la división, exigiendo que el divisor sea distinto de cero, sea cual fuera la naturaleza de los números por dividir.

       Propiedades de la división 

La división tiene las siguientes propiedades:

   *Propiedad no conmutativa

Si cambiamos el orden de los números de una división, se altera el resultado. Por ejemplo:

 10 ÷ 2 = 5      pero    2 ÷ 10 = 0, 2 

   *Propiedad no asociativa

Si se descomponen uno o todos los números de una división, o se agrupan de diferentes maneras, el cociente o resultado puede cambiar. Por ejemplo: 

400 ÷ 10 ÷ 5 puede dar 8 o 200 según como se asocie.

   *Cero dividido entre cualquier numero da cero

Por ejemplo:

0÷5=0

   *No se puede dividir por 0

Por que no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.

   *Propiedad distributiva

Es válida la propiedad distributiva con respecto de la división cuando se descompone el dividendo. Por ejemplo:

 400 ÷ 10 = 200 ÷ 10 + 200 ÷ 10.

   *División exacta

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente. Por ejemplo:

 10 ÷ 2 = 2 x 5.

   *División inexacta o entera

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. Por ejemplo:

 30 ÷ 7 = 4 (resto 2), por lo tanto, divisor x cociente + resto = 7 x 4 + 2 = 28 + 2 = 30 = dividendo.

   *Propiedad no interna

El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero. Por ejemplo: 

2 ÷ 6 ∄ N