17. Ecuaciones y desigualdades

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ecuaciones de valor absoluto

Ecuaciones con funciones cuadraticas

16. Factorizacion

Factorizacion 

La factorizacion es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática en forma de producto.

   Sus casos 

1. Factor común..

   *Monomios

14x² y²  - 28x³ + 56x⁴

             R: 14x²  (y²  - 2x + 4x²)           

   *Polinomios

a(x + 1) + b(x + 1)

R:  (x + 1) (a +b)

2. Factor común por agrupación de términos.

a² + ab + ax + bx

(a² + ab)  +  (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

3. Trinomio cuadrado perfecto.

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada  de a²  = a

Raíz cuadrada  de b²   = b

Doble producto sus raíces

(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   

R: (a – b) ²

4. Diferencia de cuadrados perfectos.

X² - y ²

x      y  = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

  R: = (x + y) (x- y) 

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

a⁴ +    a² + 1

    +    a²       - a²

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

6. Trinomio de la forma.

 x² + bx + c

7. Trinomio de la forma.

ax² + bx + c 

8. Cubo perfecto de binomios. 

a³ + 3a² + 3a + 1

Raíz cúbica de a³ =  a

Raíz cúbica de 1   = 1

Segundo término= 3(a)²(1) = 3a²

Tercer término     = 3(a)(1)² = 3a

R:  (a + 1)³

9. Suma o diferencia de cubos perfectos.

1 + a³  

(1 + a) (1² – 1(a) +( a)²)

R:(1 + a) (1 – a + a²)

10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.

a⁵ + 1

a⁵ + 1    =  a⁴ – a³ + a² – a + 1

 a + 1

15.Procesos algebraicos

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

    Expresiones algebraicas mas comunes:

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

Propiedades algebraicas

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo termino, un numero llamado coeficiente. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Ejemplo de un monomio:

Binomios

Un binomio consta únicamente de una suma  o resta de dos monomios.

14. Potenciacion, radicacion y logaritmacion

Potenciacion 

La potenciacion es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. La base de una potencia es el numero que multiplicamos por si mismo.

   Sus propiedades

1. Un numero elevado a 0 es igual a 1.

a⁰ = 1

2. Un numero elevado a 1 es igual a si mismo.

a¹ = a

3. Producto de potencias con la misma base.

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

4. División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

5. Potencia de una potencia 

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}  

6. Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con la misma base y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

7. Cociente de potencias con el mismo exponente 

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Radicacion 

La radicacion es el proceso de hallar raíces de orden n de un numero a, de modo que se verifica que  donde n es llamado indice u orden, a es llamado radicando y x es una raíz enésima.

   Sus propiedades

1. Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

2. Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

3. Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

Logaritmacion 

El logaritmo de un numero real positivo es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho numero.

   Sus propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

4. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

13. Proporcionalidad

Razón

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee a es a b.

Proporción 

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones.

Variación

Consiste en que si se tienen dos cantidades y una de ellas aumenta o disminuye un cierto numero de veces, la otra se incrementa o disminuye en igual cantidad.

  Variación directa: La variación directa significa que la salida varia de la entrada por una razón. La forma general de la ecuación para la variación directa y=mx donde el m esta la constante variación.

  Variación indirecta: La variación indirecta describe una relación simple entre dos  . Decimos que y varía directamente con x .

  

12. Números decimales y fracciones

Fracciones decimales

Las fracciones decimales son lo que corresponde a las partes de un entero que se ha partido en una decena de partes iguales o una centena, etc. Es muy importante tener en claro que lo que generalmente llamamos números decimales, o sea los números con coma decimal, están expresando una fracción decimal.

11.Fracciones

Fracciones

Una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad. Se representa escribiendo el dividendo arriba de una linea y el divisor debajo de esta.

 

   Tipos de fracciones

Según la relación (mayor o menor) que existe entre el numerador y el denominador, las fracciones pueden ser propias o impropias:

  Fracciones propias: Cuando el numerador es menor que el denominador.

En las fracciones propias, el resultado de la división numerador divido denominador siempre sera menor que 1.

  Fracciones impropias: Cuando el numerador es mayor o igual que el denominador .

En las fracciones impropias, el resultado de la división numerador dividido denominador siempre sera mayor o igual que 1.

  Unidad: Cuando el numerador y el denominador son el mismo numero, la fraccion es la unidad, es decir, 1.

  Fracciones mixtas: Es un numero entero escrito junto a una fracción.

 3½ = 3,5

Suma de fracciones

   Suma de fracciones con el mismo denominador: Para sumar fracciones con el mismo denominador se tienen que sumar los numeradores dejando el mismo denominador.

   Suma de fracciones con distinto denominador: Para sumar fracciones con diferente denominador, lo primero que hay que hacer es poner un denominador comun: esto es el minimo comun multiplo entre los denominadores que haya. Despues multiplicamos cada numerador por el numero que hayamos multiplicado al denominador. Por ultimo, sumamos los numeradores que hayamos obtenido y dejamos el mismo denominador.

m.c.m. (3,5) = 15

15 : 3 = 5

5 x 2 = 10

15 : 5 = 3

3 x 4 =12

Resta de fracciones

   Resta de fracciones con mismo denominador: La resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común.

   Resta de fracciones con distinto denominador: Esta se explicara paso a paso ya que no es tan sencilla:

  1. Multiplicar en cruz

 

  2. Multiplicar los denominadores de las dos fracciones

  3. Resolvemos todas las operaciones 

Máximo común divisor 

En matemáticas, se define el máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar residuo. El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición de factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

         

       

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. Partiendo de dos o más números y por descomposición de factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia.