20. Método Gauss-Jordan

¿Cual es el método Gauss-Jordan?

En matemáticas, la eliminación de Gauss Jordan, llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n numero de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.

19. Reducción de matrices

 Reducción de matrices

Se dice que es una matriz reducida si cumple las siguientes condiciones:

• El primer elemento no nulo de cualquier fila no nula debe ser 1, mientras que todos los demás elementos en la columna en que aparece este 1, deben ser ceros. 
• En cada fila, el primer elemento diferente de cero debe estar a la derecha del primer elemento no nulo de cada fila superior.
• Todas las filas cuyos elementos son únicamente ceros deben estar en la parte inferior de la matriz.

18. Operaciones entre matrices

¿Que es una matriz?

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de número. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Operaciones

Suma y resta

La suma de dos matrices es otra matriz, y cada uno de sus elementos es igual a la suma de los elementos de las dos matrices anteriores con los mismos subíndices. La resta entre matrices se realiza de manera similar, teniendo en cuenta que en lugar de sumar los elementos de las matrices, se restan.

Producto de un número por una matriz

Para realizar el producto de un número por una matriz tan sólo es necesario multiplicar cada elemento de dicha matriz por el número. 

Producto de dos matrices

No debe confundirse este producto con el anterior. Para multiplicar dos matrices debe tenerse en cuenta lo siguiente:

• El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.
• La matriz resultante tendrá tantas filas como la primera, y tantas columnas como la segunda.

Aquí podrás encontrar algunos ejercicios que resolver:

17. Ecuaciones y desigualdades

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ecuaciones de valor absoluto

Ecuaciones con funciones cuadraticas

16. Factorizacion

Factorizacion 

La factorizacion es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión matemática en forma de producto.

   Sus casos 

1. Factor común..

   *Monomios

14x² y²  - 28x³ + 56x⁴

             R: 14x²  (y²  - 2x + 4x²)           

   *Polinomios

a(x + 1) + b(x + 1)

R:  (x + 1) (a +b)

2. Factor común por agrupación de términos.

a² + ab + ax + bx

(a² + ab)  +  (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

3. Trinomio cuadrado perfecto.

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada  de a²  = a

Raíz cuadrada  de b²   = b

Doble producto sus raíces

(2 X a  X b) 2ab  (cumple)   

R: (a – b) ²

4. Diferencia de cuadrados perfectos.

X² - y ²

x      y  = Raíces 

Se multiplica la suma por la diferencia

  R: = (x + y) (x- y) 

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción.

a⁴ +    a² + 1

    +    a²       - a²

a⁴ + 2a²+ 1 - a²

(a⁴ + 2a²+ 1) - a²

(a² + 1)² - a²

R: (a²+ a + 1) (a²– a + 1)

6. Trinomio de la forma.

 x² + bx + c

7. Trinomio de la forma.

ax² + bx + c 

8. Cubo perfecto de binomios. 

a³ + 3a² + 3a + 1

Raíz cúbica de a³ =  a

Raíz cúbica de 1   = 1

Segundo término= 3(a)²(1) = 3a²

Tercer término     = 3(a)(1)² = 3a

R:  (a + 1)³

9. Suma o diferencia de cubos perfectos.

1 + a³  

(1 + a) (1² – 1(a) +( a)²)

R:(1 + a) (1 – a + a²)

10. Suma o diferencia de dos potencias iguales.

a⁵ + 1

a⁵ + 1    =  a⁴ – a³ + a² – a + 1

 a + 1

15.Procesos algebraicos

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

    Expresiones algebraicas mas comunes:

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

Propiedades algebraicas

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo termino, un numero llamado coeficiente. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Ejemplo de un monomio:

Binomios

Un binomio consta únicamente de una suma  o resta de dos monomios.

14. Potenciacion, radicacion y logaritmacion

Potenciacion 

La potenciacion es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. La base de una potencia es el numero que multiplicamos por si mismo.

   Sus propiedades

1. Un numero elevado a 0 es igual a 1.

a⁰ = 1

2. Un numero elevado a 1 es igual a si mismo.

a¹ = a

3. Producto de potencias con la misma base.

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

a^m · a ⁿ = a^m+n

4. División de potencias con la misma base

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

5. Potencia de una potencia 

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ = a^{m · n}  

6. Producto de potencias con el mismo exponente

Es otra potencia con la misma base y cuya base es el producto de las bases.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

7. Cociente de potencias con el mismo exponente 

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Radicacion 

La radicacion es el proceso de hallar raíces de orden n de un numero a, de modo que se verifica que  donde n es llamado indice u orden, a es llamado radicando y x es una raíz enésima.

   Sus propiedades

1. Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.

2. Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

3. Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

Logaritmacion 

El logaritmo de un numero real positivo es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho numero.

   Sus propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

4. El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.